Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


17. (Egybevágósági transzformációk...)

2008.06.20

17.

Egybevágósági transzformációk, szimmetrikus sokszögek

 

 

Def.: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.

 

Def.: Távolságtartó( egybevágósági ) transzformáció: bármely szakasz képem az eredetivel megegyező hosszúságú szakasz.

 

Def.: távolsági ( egybevágósági transzformációknak nevezzük azokat a transzformációkat, melyek esetén bármely szakasz képének hossza egyenlő az eredeti szakasz hosszával.

 

Négy egybevágósági transzformációt különböztetünk meg:

Ø        Tengelyes tükrözés

Ø        Középpontos tükrözés

Ø        Elforgatás

Ø        Eltolás

 

Tengelyes tükrözés: Adott a sík egy „t” egyenese, a tükrözés tengelye. A tengelyen levő pont képe önmaga. Ha a „P”pont nem illeszkedik a tengelyre, akkor a képe az a P’ pont, amelyre a PP’ szakasz felezőegyenese a t tengely.

 

Tulajdonságai:

Ø        Távolságtartó

Ø        Egyenestartó

Ø        Szögtartó

Ø        Kölcsönösen egyértelmű

Ø        A pont képének a képe ugyanaz a pont

Ø        A körüljárás iránya megváltozik

Ø        Fix pontok: a tengely pontjai

Ø        Fix egyenes: a tengely

Ø        Invariáns egyenes a tengelyre merőleges egyenes

Ø        Egyenes és képe ugyanabban a pontban metszik a tengelyt

Ø        Egyenes és képe ugyanakkora szöget zárnak be a tengellyel

 

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy egymásra merőlegesek legyenek, és egy alakzatot ezekre az egyenesekre rendre tükrözzük, akkor az alakzat képe megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot középpontosan tükrözzük a két egyenes metszéspontjára.

 

Középpontos tükrözés: Adott a sík egy „O” pontja, a tükrözés középpontja. Az O pont képe önmaga. O-tól különböző P pont képe az a P’ pont, amelyre a PP’ szakasz felezőpontja az O pont.

 

Tulajdonságai:

Ø        Távolságtartó

Ø        Egyenestartó

Ø        Szögtartó

Ø        Kölcsönösen egyértelmű

Ø        A körüljárás irányát megtartja

Ø        Fix pont: a tükrözés középpontja

Ø        Fix egyenes: nincs

Ø        Invariáns egyenes: minden, az O ponton átmenő egyenes

Ø        Ha az egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és képe párhuzamosak egymással

 

 

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy párhuzamosak legyenek egymással és ezen egyenesekre rendre tükrözünk egy alakzatot, akkor a keletkezett alakzat megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot ( a két egyenes közti távolság=d ) d abszolútértékű vektorral eltoljuk, mely vektor iránya merőleges az egyenesekre.

 

Eltolás: Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér egy P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre PP’ vektor egyenlő v vektorral.

 

Tulajdonságai:

Ø        Távolságtartó

Ø        Egyenestartó

Ø        Szögtartó

Ø        Kölcsönösen egyértelmű

Ø        A körüljárás irányát megtartja

Ø        Fix pont nincs, kivéve, ha a vektor zérusvektor, ilyenkor minden pont fix

Ø        Fix egyenes nincs

Ø        Invariáns egyenes a vektorral párhuzamos egyenes

Ø        Egyenes és képem egymással párhuzamos

 

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy metsszék egymást és α szög a hajlásszögük és egy alakzatot rendre tükrözünk a két egyenesre, akkor a keletkezett alakzat megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot a két egyenes metszéspontja körül 2α szöggel forgatjuk el.

 

Elforgatás: Adott a sík egy O pontja, egy α szög és egy forgásirány. Az O pont körüli α szögű, adott irányú elforgatás a sík tetszőleges O pontjától különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre teljesül, hogy a POP’ szög nagyság és irány szerint megegyezik az α szöggel. Az O pont képe önmaga. Az OP=OP’   és O=O’.

 

Tulajdonságai:

Ø        Távolságtartó

Ø        Egyenestartó

Ø        Szögtartó

Ø        A körüljárás iránya változatlan marad

Ø        Invariáns egyenes nincs, kivéve, ha α=180o

Ø        Fix egyenes nincs, kivéve, ha α= 0o vagy 360o

Ø        Fix pont az O pont, ha az elforgatás szöge 360o vagy 0o, akkor minden pont fix

Ø        Kölcsönösen egyértelmű

Ø        Ha a forgatás szöge nem nagyobb, mint 90o, akkor bármely egyenes és képe által bezárt szög megegyezik az elforgatás szögével

Ø        Minden kör fix alakzat, ha a forgatás centruma a kör középpontja is

Ø        Minden n oldalú szabályos sokszög fix alakzat, ha a sokszög középpontja a forgatás centruma és az elforgatás szöge 360o/n vagy ennek többszöröse

 

Def.: Két vagy több transzformáció egymás utáni elvégzését a transzformációk szorzatának nevezzük. Ez a művelet általában nem kommutatív.

 

alakzatok Egybevágósága

 

Két háromszög egybevágó, ha

 

Ø        Két oldaluk hossza és a két adott oldal által bezárt szög megegyezik

Ø        Oldalaik hossza rendre megegyeznek

Ø        Két oldaluk hossza és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik

Ø        Egy oldaluk hossza és a rajta levő két szög megegyezik

 

 

Két sokszög egybevágó, ha

Ø        oldalaik hossza és szögeik rendre megegyeznek

Ø        oldalaik és átlóik hossza rendre megegyezik

 

SZIMMETRIKUS ALAKZATOK

 

Def.: egy síkbéli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha az alakzat síkjában létezik olyan tengely, amelyre való tükrözésnél az alakzat képe önmaga.

 

Def.: Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga.

 

Def.: Egy alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. A forgatás lehet tengely körüli forgatás, síkban pont körüli forgatás, (360o-on kívül másik )

 

Def.: Egy alakzat síkszimmetrikus, ha létezik olyansík, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga.

 

Az egyenlő szárú háromszögek tengelyesen szimmetrikusak, szimmetriatengelyük az alaphoz tartozó magasságvonalra illeszkedő egyenes.

 

Az egyenlőszárú trapéz is tengelyesen szimmetrikus, szimmetriatengelye az alapjai oldalfelező merőlegese.

 

A paralelogramma középpontosan szimmetrikus, szimmetria-középpontja az átlói metszéspontja.

 

A téglalap tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus, szimmetriatengelyei az oldalfelező merőlegesei, szimmetria-középpontja az átlói középpontja. Forgásszimmetrikus is, 180o-kal elfordítva kapjuk ugyanazt az alakzatot.

 

A négyzet tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus, szimmetriatengelyei az oldalfelező merőlegesei és átlói, szimmetria-középpontja az átlóinak a metszéspontja. Forgásszimmetrikus is, 90o-os forgatás viszi vissza önmagába.

 

A rombusz tengelyesen és középpontosan szimmetrikus, szimmetriatengelyei az átlói, szimmetria-középpontja az átlóinak a metszéspontja. Forgásszimmetrikus, mivel 180o-os forgatással önmagába vihető át.

 

A deltoid tengelyesen szimmetrikus, szimmetria tengelye az az átlója, amely azokat a csúcsokat köti össze, melyekhez tartozó oldalak egyforma hosszúak.

 

Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus. Ha páros egy sokszög csúcsainak a száma, akkor minden oldalfelező merőlegese és minden, szemközti csúcsokat összekötő átló szimmetriatengely. Az ilyen sokszögeknek annyi szimmetriatengelyük van, ahány oldaluk, és középpontosan is szimmetrikusak.

Ha pedig páratlan egy sokszög csúcsainak a száma, akkor az egyik oldal oldalfelező pontján és a vele szemközti csúcson átmenő egyenes a szimmetriatengely.

Minden szabályos sokszög forgásszimmetrikus, mivel önmagába forgatható 360/n fokkal való forgatással a középpontja körül, ahol n jelöli a sokszög oldal, illetve csúcsszámát.

 

A szimmetria a térben is gyakori, tengelyes szimmetria helyét a síkszimmetria veszi át, forgásszimmetriát pedig nem (csak) pontra, hanem tengelyre nézve állapíthatjuk meg. Középpontos-szimmetria ugyanúgy jelen van, csak térben.

 

Például: A kocka síkszimmetrikus, ahol a szimmetriasíkok az oldalfelező síkok( 9.-es tk 222. old.) és középpontosan is szimmetrikus, és forgásszimmetrikus is.